Cela dépend entièrement du but et du pays. Par exemple, aux Pays-Bas, un permis de conduire européen est une pièce d'identité entièrement valide et peut être utilisé, par exemple, pour voter. En France, il n'y a pas de liste exhaustive de ce qui compte comme pièce d'identité, il n'y a donc aucune raison pour qu'un permis de conduire ne soit pas accepté par la police (voir cette question sur les expatriés.SE pour une longue discussion de ce cas spécifique). Ailleurs, cela peut ne pas être considéré comme une pièce d'identité valide et les organisations privées partout (par exemple les banques) peuvent également avoir d'autres exigences.
Le problème est que pour voyager à l'étranger, vous avez besoin de plus qu'une pièce d'identité, vous avez besoin de quelque chose à établir votre citoyenneté et prouver votre droit d'entrer dans le pays de destination. Un permis de conduire ne suffit pas pour cela. De même, si vous souhaitez faire usage de votre droit à la libre circulation en tant que citoyen de l'UE, vous avez besoin de quelque chose qui prouve que vous êtes effectivement un citoyen de l'UE et que quelque chose est généralement un passeport ou une carte d'identité nationale. Si vous voyagez par voie terrestre, vous pourriez vous en tirer sans en avoir un sur vous, mais monter à bord d'un avion est souvent plus difficile.
Une fois, j'ai été autorisé à prendre un vol Schengen interne avec seulement un permis de conduire et quelques d'autres documents comme une carte d'assurance maladie de mon pays de destination (après avoir perdu ma pièce d'identité) mais je pense que c'était juste la personne au comptoir qui contournait les règles et comptait sur le fait qu'il n'y aurait pas de chèque à l'autre bout (nous sommes allés au bureau dès que nous avons remarqué que la pièce d'identité manquait, nous n'avions pas l'intention de montrer simplement un permis de conduire lors de l'embarquement).
Enfin, les pays de l'UE reconnaissent les cartes d'identité nationales de l'autre, sauf si vous êtes un de l'un des pays qui ne les émettent pas du tout (Danemark, Royaume-Uni), vous n'avez besoin de rien d'autre et c'est vrai à l'échelle de l'UE (pas seulement dans l'espace Schengen, mais également au Royaume-Uni, en Irlande, en Bulgarie, en Roumanie , Croatie, Chypre, EEE ou Suisse mais pas nécessairement ailleurs en Europe).